Topic outline

  • TEORI BILANGAN

           Selamat datang di kelas mata kuliah Teori Bilangan.  Mata kuliah Teori Bilangan merupakan mata kuliah pilihan di Program Studi Matematika FMIPA Universitas Udayana dan di beberapa program studi Matematika di seluruh Indonesia.  Mata kuliah ini dimunculkan di Program Studi Matematika FMIPA Universitas Udayana mengingat salah satu materi yang diujikan dalam Olimpiade Matematika tingkat SD, SMP ataupun SMA adalah Teori Bilangan.  Oleh karena itu, pokok-pokok bahasan dalam mata kuliah Teori bilangan ini mengacu pada materi Olimpiade Nasional Matematika, yang secara lengkap dapat dilihat dalam deskripsi mata kuliah berikut ini.

    DESKRIPSI MATA KULIAH:

    Mata Kuliah Teori Bilangan dirancang untuk mahasiswa agar setelah mengikuti mata kuliah ini; mahasiswa menguasai konsep teori bilangan, yang ditunjukkan dengan kemampuan bekerja secara individu maupun tim dalam menerapkan  konsep konsep sistem bilangan bulat dan sifat-sifatnya, keterbagian bilangan bulat, kekongruenan, Faktorisasi prima (FPB, KPK dan Teorema Dasar Aritmetika), persamaan diopantin linear, persamaan diopantin non linear , aplikasi kekongruenan lainnya  (Teorema Sisa Cina, Teorema Fermat, Teorema Euler dan Teorema Wilson) serta Fungsi Tangga dalam menyelesaikan masalah matematika dengan baik: Untuk dapat mengembangkan capaian pembelajaran tersebut maka mahasiswa akan mempelajari sistem bilangan bulat dan sifat-sifatnya, kekongruenan, faktorisasi prima (meliputi FPB dan KPK, bilangan prima dan Teorema Dasar Aritmatika), persamaan diopantin linear (meliputi Algoritma Euclid, Kongruensi Linear, dan Chinese Remainder Theorem),  persamaan diopantin linear dua atau lebih variabel,  persamaan diopantine non linear dan cara-cara penyelesaiannya, aplikasi  kekongruenan bilangan bulat lainnya: Teorema Fermat, Wilson dan Euler.  Selain itu dalam mata kuliah ini mahasiswa  juga mempelajari konsep  Fungsi Tangga

            Untuk dapat mengambil mata kuliah ini, mahasiswa harus sudah mengambil mata kuliah Pengantar Matematika Modern, Matematika Diskret dan Kalkulus.  

            

           Adapun capaian pembelajaran mata kuliah ini adalah sebagai berikut.

     CAPAIAN PEMBELAJARAN MATA KULIAH

    1. Mampu menerapkan konsep Teori Bilangan dalam menyelesaiakan masalah matematika (KU1), baik berupa masalah yang berkaitan dengan penerapan langsung, eksplorasi maupun masalah pembuktian (KK1)
    2. Mahasiswa dapat bekerja dalam suatu tim dengan baik untuk menyelesaikan maslah-masalah eksplorasi dan pembuktian (S6). 
            Sesuai dengan dasar pembentukanmata kuliah ini, maka materi pembelajaran mata kuliah ini adalah sebagai berikut. 

    BAHAN KAJIAN (MATERI PEMBELAJARAN)

    1. Review Bukti Langsung, tak Langsung dan dan Induksi Matematika.
    2. Sistem Bilangan Bulat  dan Barisan Fibonacci
    3. Keterbagian Bilangan Bulat : definisi keterbagian dan sifat-sifatnya, algoritma pembagian dan  identitas-identitas aljabar
    4. Kekongruenan Bilangan Bulat
    5. Ketunggalan Faktorisasi :  FPB dan KPK , bilangan prima dan Teorema Dasar Aritmatika.
    6. Persamaan Diopantin Linear : Algoritma Euclid, Persamaan Diopantin Linear 2 Variabel, dan Kongruensi Linear
    7. Persamaan Diopantin Non Linear dan Cara-Cara Pemecahannya.
    8. Aplikasi Kekongruenan Bilangan Bulat Lainnya: Teorema Sisa Cina, Teorema Fermat, Wilson  dan Euler.
    9. Fungsi Tangga

              Selanjutnya, disajikan Rencana Pembelajaran Semester (RPS) mata kuliah ini.  RPS dapat 

    dilihat di sini.  

    Daftar Pustaka

    Hand Book:
    Santos, David A. 2007. Number Theory for Mathematical Contests. Free Software Foundation, Inc.

    Buku Teks:

    1.      Andreescu, Titu and Andrica, Dorin. 2002. An Introduction to Diophantine Equations. Cil Publishing House, Romania.

    2.      Budhi, Wono Setya.  2005.  Langkah Awal Menuju ke Olimpiade Matematika.  Edisi 1. CV Ricardo, Jakarta Selatan.

    3.      Eynden, Charles Vanden. 2001.  Elementary Number Theory. Second Edition. McGraw-Hill Companies, Inc, New York.

    4.      Herman, Jiri, Kucera, Radan and Simsa, Jaromir. 200.  Equations and Inequalities,  Elementary Problems and Theorems in

             Algebra and Number Theory. Translated by Karl Dilcher. Springer – Verlag New York, Inc.

    5.      Rosen, Kenneth H. 1984. Elementary Number Theory and Its Application. Addison Wesley

             Publishing Company  

    6.      Santos, David A. 2008. Junior Problem Seminar. Free Software Foundation, Inc.

    7.      Stark, Harold M. 1998. An Introduction to Number Theory. MIT Press, London.

    8.      Zawaira, Alexander and Hitchcock, Gavin. 2009. A Primer for Mathematics Competitions. Oxford University Press, Inc, New York.

    Video Movie
    discrete mathematic - direct indirect proof:  https://www.youtube.com/watch?v=s4X4xlVCeHQ

    Proof by Mathematical Induction:  https://www.youtube.com/watch?v=dMn5w4_ztSw

    To Identity Properties of Integer: https://www.youtube.com/watch?v=OUnrhnSwG3k

    The Magic of Fibonacci Number: https://www.youtube.com/watch?v=SjSHVDfXHQ4

    Decoding the Secret Pattern of Nature ( Fibonacci Sequence): https://www.youtube.com/watch?v=lXyCRP871VI

    Integer Divisibility : https://www.youtube.com/watch?v=dIfpZzX7bKo

    The Division Algorithm: https://www.youtube.com/watch?v=XHjSy_MT7u0

    Modular aritmatic: https://www.youtube.com/watch?v=2tpSU7BJFMI

    The Fundamental Theorem of Arithmatic: https://www.youtube.com/watch?v=8CluknrLeys

    The Euclidean Algorithm:  https://www.youtube.com/watch?v=p5gn2hj51hs

    Using euclidean algorithm to write gcd as linear combination : https://www.youtube.com/watch?v=qym5D5bhoQs

    Linear Diophantine Equation :  https://www.youtube.com/watch?v=uTFuHRK5Pmk

     Solve a linear congruence with common Factor : https://www.youtube.com/watch?v=R9uOG42mfNY

    Diophantine Equation trick of proving no solutions exist for an diophantine equation:

    https://www.youtube.com/watch?v=BVm1Xvv_Zig

     The Chinesse Remainder Theorem-an Example:  https://www.youtube.com/watch?v=pIPcxz3K1eQ

    Fermat Little Theorem:  https://www.youtube.com/watch?v=7C0ZMLdzDAo

    Appliying Fermat Little Theorem:  https://www.youtube.com/watch?v=W6tKAAyTczw

    Wilson Theorem fo finding out remainder : https://www.youtube.com/watch?v=Jl3wSX0kMCE

    Wilson Theorem Solved Example: https://www.youtube.com/watch?v=IW0bco1a788

    Euler’s Theorem made easy: https://www.youtube.com/watch?v=FHkS3ydTM3M

    Graphing the Floor Function: https://www.youtube.com/watch?v=UQ3a2QH_-GU

    Floor Function- An Example : https://www.youtube.com/watch?v=WCGqbPyYi5A

    Ceiling Function : https://www.youtube.com/watch?v=AT57VeoA-FM

    Penilaian

     

    Formative Assessment

    Proportion of Score

    Tugas Kelompok

    :

    20%

    Tugas Individu

    :

    15%

    Kuis

    :

    15%

    Absensi

    :

    5%

    		Keaktifan
    		5%

    Summative Assessment

      


    :


    Middle Semester Test

    :

    20%

    End Semester test

    :

    20%

    100%

    Grading Scale

    80-100

    A

    70- <80

    B +

    65-<70

    B

    60-<65

    C +

    55-<60

    C

    45-<55

    D

    <45

    E





  • BUKTI LANGSUNG, TAK LANGSUNG DAN INDUKSI MATEMATIKA

          Materi mata kuliah ini tidak bisa dipisahkan dengan masalah pembuktian.  Oleh karena itu, 

    sebagai  awal pembahasan mari kita review kembali materi yang sudah saudara dapatkan 

    sebelumnya, yaitu Bukti Langsung, Bukti Tak Langsung dan Induksi Matematika. Kita mulai dengan 

    bukti langsung....

    1.1  BUKTI LANGSUNG

           Misalkan kita dihadapkan pada masalah pembuktian.  Masih ingatkah saudara yang dimaksud 

    dengan bukti langsung?  Betul sekali....bukti langsung erat kalitannya dengan pembuktian pernyataan

     bentuk implikasi. Untuk lebih meyakinkan ingatan saudara-saudara di bawah ini diberikan power point 

    materi bukti langsung. 

    1.2  BUKTI TAK LANGSUNG

           Bagaimana pula dengan bukti tak langsung.  Masih ingatkah saudara?  Saya yakin beberapa dari 

    kalian masih ingat, karena dalam beberapa mata kuliah sebelumnya juga menerapkan bukti langsung 

    maupun tak langsung. Baiklah, untuk mengingat kembali, cermati power point berikut mengenai bukti 

    langsung dan tak langsung.  Untuk mengunduhnya,silahkan klik di sini 

           Mungkin ada di antara saudara  sebelumnya belum paham benar, dan setelah mencermati power

     point ini masih kesulitan memahaminya.... Nah untuk ini saudara bisa menonton dengan seksama 

    video yang berjudul " discrete mathematic - direct indirect proof"  di bawah ini.

    1.3  INDUKSI MATEMATIKA

           Sekarang  coba ingat kembali apa yang dimaksud dengan induksi matematika ! Bagaimana?  

    Masih ingatkah saudara?  Yup.... saya yakin sebagian besar dari kalian masih ingat... Akan tetapi 

    supaya lebih meyakinkan cermati power point berikut ini. Selain itu saudara juga dapat menonton video

     yang berjudul "Proof by Mathematical Induction" di bawah ini



    • quiz 1

      Pilih jawaban yang tepat untuk pertanyaan-pertanyaan yang diberikan!

    • Forum Materi Bukti Langsung, Tak Langsung dan Induksi Matematika

      Jika saat mempelajari materi bagian ini , anda mengalami masalah dalam memahaminya, silahkan florkan masalahnya di sini dan bagi yang bisa membantu menjelkaskan , silahkan dibantu untuk menjelaskan.  Terima kasih.

  • SISTEM BILANGAN BULAT DAN BARISAN FIBONACCI

          Materi Teori Bilangan sebagian besar bekerja pada bilangan bulat.   Sementara salah satu barisan  yang suku-sukunya merupakan elemen bilangan bulat adalah barisan Fibonacci. Oleh karena itu, di sini kita akan mempelajari Sistem Bilangan Bulat dan Barisan Fibonacci.  

          Kemampuan akhir mahasiswa yang diharapkan setelah mempelajari materi pembelajaran ini adalah mampu menerapkan dengan baik konsep sistem bilangan bulat dan barisan Fibonacci dalam menyelesaikan masalah matematika.

    2.1  Sistem Bilangan Bulat

          Sistem bilangan bulat merupakan himpunan semua bilangan bulat dilengkapi operasi penjumlahan dan perkalian.  Masih ingatkah saudara mengenai himpunan bilangan bulat? Ya betul... himpunan bilangan bulat terdiri dari himpunan bilangan bulat positif (bilangan asli) dan himpunan bilangan bulat non positif. 

         Sifat-Sifat operasi pada bilangan bulat dapat ditonton pada video tutorial yang berjudul " To Identity Properties of Integer"  di bawah ini. Sifat-sifat operasi himpunan bilangan asli dapat dibaca dalam handbook halaman 1.  Setiap himpunan bagian dari himpunan bilangan asli memenuhi well-ordering axiom juga dapat dibaca dalam handbook halaman 1.  

    2.2   Barisan Fibonacci

          Barisan Fibonacci merupakan barisan yang suku-sukunya mengikuti relasi rekursif      Fn = Fn-1 + Fn-2 dengan F1 = F2 = 1, atau bisa ditulis sebagai 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... Suku-suku barisan Fibonacci dinamakan bilangan Fibonacci.   Untuk lebih memahami mengenai barisan Fibonacci, cermati power point berikut ini.  Selain itu, saudara juga dapat menonton video tutorial dengan judul " The Magic of Fibonacci Number " di bawah ini.  Untuk materi bilangan Fibonacci dapat dibaca pada handbook halaman 9 - 11. Selain itu, saudara bisa tonton video berjudul "Decoding the Secret Pattern of Nature ( Fibonacci Sequence)   " untuk melihat betapa menariknya barisan Fibonacci.

        

    • Forum Diskusi Sistem Bilangan Bulat dan Barisan Fibonacci

       Jika ada masalah, silahkan florkan masalahnya di sini. Apabila ada yang bisa memecahkan atau menambah komentar mengenai masalah yang sudah diflorkan temannya (boleh juga yang mengalami masalah yang sama, Misal ...iya lho saya juga tidak paham bagian ini.....kalau ada yang lain ga ngerti juga sampaikan saja...sehingga bisa diketahui...kalau banyak yang tidak paham mengenai masalah yang diflorkan ) ...Misal masalah pertama belum terpecahkan ada yang mau florkan masalah baru...silahkan saja...

    • Tugas Materi 2 Assignment
      Silahkan kerjakan tugas Individu yang berkaitan dengan materi 2 ini! Tugas ditulis tangan, discan dan disubmit dalam bentuk file pdf. paling lambat hari Selasa, 29 September 2020 pukul 15.00.  Saudara boleh berdiskusi di forum atau di manapun mengenai soal dalam tugas ini, tetapi tulislah jawaban dengan bahasa  sendiri, jangan menyalin jawaban teman.  Jika ditemukan adanya indikasi salin menyalin, maka siapapun itu, untuk bagian yang sama persis cara pengungkapannya akan mendapat nilai nol untuk bagian tersebut.  Jika Saudara mendapatkan jawaban di internet, pahami proses penalaran dalam jawaban tersebut, kemudian tulis dengan bahasa  sendiri.  Saudara pasti bisa! Yakinlah!.....Semangat!!!!      Terima kasih.  Selamat mengerjakan

  • KETERBAGIAN BILANGAN BULAT DAN ALGORITMA PEMBAGIAN

          Bilangan bulat ada yang bisa habis dibagi bilangan bulat lainnya dan ada juga yang tidak.  Sehubungan dengan keterbagian bilangan bulat terdapat ciri-ciri tertentu bilangan bulat habis dibagi bilangan bulat lainnya.  Nah... inilah yang menjadi pokok materi pada bagian ini , yaitu keterbagian bilangan bulat dan algoritma pembagian.

         Setelah mempelajari materi ini, kemampuan akhir yang diharapkan dimiliki mahasiswa adalah mampu menerapkan dengan baik konsep keterbagian bilangan dan algoritma pembagian dalam menyelesaikan masalah matematika.

    3,1  Keterbagian Bilangan Bulat

          Terdapat ciri-ciri bilangan bulat dapat habis dibagi bilangan bulat lainnya, tanpa harus melakukan pembagian dengan bilangan tersebut. Untuk memahami materi keterbagian bilangan bulat silakan baca hand book halaman 17 - 18 dan halaman 21 - 22... Selain itu coba cermati power point berikut.  Kalau masih kesulitan dalam memahami, saudara bisa tonton video tutorial yang berjudul "Integer Divisibility" di bawah ini.

          Untuk mengetahui sejauh mana saudara mengerti dengan yang baru saja saudara pelajari, kerjakan Kuis 3 di bawah ini.  Untuk lebih menambah pemahaman saudara, kerjakan Tugas 3  sebagai tugas mandiri.  Saudara juga bisa bereksplorasi mengenai materi ini dengan mengerjakan tugas kelompok 3.  Kelompok dan aturan diskusi kelompok  seperti yang sudah dibicarakan dan disepakati  sebelumnya,. .  

    3.2  Algoritma Pembagian

          Telah kita ketahui bahwa tidak semua bilangan dibagi bilangan bulat lainnya.  Terdapat bilangan bulat yang kalau dibagi bilangan bulat lainnya masih bersisa... Nah ... materi yang erat kaitannya dengan hal ini adalah algoritma pembagian,  yang dapat saudara baca pada handbook halaman 19 - 20,.serta power point berikut. Untuk menambah pemahaman saudara, saudara juga dapat menonton video tutorial yang berjudul "The Division Algorithm" di bawah ini. 

          Jika saudara telah mempelajari materi algoritma pembagian ini, kerjakan Kuis 4 untuk mengetahui sejauh mana penguasaan saudara.  Untuk melatih ketrampilan saudara sehubungan dengan penguasaan materi ini kerjakan Tugas Mandiri 4.  Selaunjutnya, saudara bisa bereksplorasi dengan mengerjakan Tugas Kelompok 4.

  • KEKONGRUENAN

          Dalam menyelesaikan masalah matematika yang menyangkut  keterbagian bilangan bulat kadang kita terkendala apabila masalah tersebut melibatkan bilangan yang cukup besar.  Salah satu konsep yang bisa mengatasi permasalahan ini adalah konsep kekongruenan bilangan bulat seperti yang akan dibahas berikut ini.

          Setelah mempelajari materi ini, kemampuan akhir yang diharapkan dimiliki mahasiswa adalah mampu menerapkan konsep kekongruenan bilangan dalam menyelesaikan masalah matematika .  

          Motivasi perlunya materi kekongruenan bilangan bulat dapat saudara tonton pada video tutorial dengan judul " Modular Aritmatic" di bawah ini. Materi kekongruenan bilangan bulat dapat dibaca pada handbook halaman 26 - 30.  Selain itu, untuk melengkapi contoh-contohnya, juga dapat dibaca file berikut ini.

         Selanjutnya untuk mengukur pemahaman saudara, kerjakan kuis 5 dan untuk melatih ketrampilan saudara kerjakan Tugas Mandiri 5, sedangkan untuk bereksplorasi kerjakan Tugas Kelompok 5.

  • FPB, KPK, BILANGAN PRIMA DAN TEOREMA FUNDAMENTAL ARITMATIKA

          Sehubungan dengan keterbagian bilangan bulat, jika bilangan bulat a habis membagi bilangan bulat b, maka a juga dikatakan faktor dari b. Bilangan yang menjadi faktor bersama dua atau lebih bilangan bulat  dinamakan faktor persekutuan.  Di antara faktor-faktor persekutuan itu tentunya ada yang terbesar, yang disebut Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) atau Greatest Common Division (GCD), seperti dibahas berikut ini:

    Faktor Persekutuan Terbesar(FPB).

          Bilangan c  disebut faktor persekutuan bilangan bulat a dan b apabila c habis membagi a dan b sekaligus. Berikut diberikan definisi FPB.

    Definisi FPB

    Bilangan bulat positif d disebut faktor persekutuan terbesar bilanganbulat  a dan b

    apabila

    a. d faktor persekutuan a dan b.

    b. untuk setiap faktor persekutuan e dari bilangan a dan b, maka e | d.

    Bilangan d ditulis sebagai FPB(a,b) atau (a,b)

    Untuk lebih jelasnya, materi mengenai FPB dapat dibaca pada handbook halaman 34 - 39.

            Selanjutnya, selain keterbagian bilangan bulat, kita juga mengenal kelipatan bilangan bulat. Suatu bilangan yang merupakan kelipatan bersama dari dua atau lebih bilangan dinamakan kelipatan persekutuan.  Misalkan kelipatan persekutuan dari 24 dan 15 adalah 120, 240, 360, ...dan seterusnya.  Di antara kelipatan-kelipatan persekutuan tersebut, pasti ada yang terkecil, yang dinamakan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) atau Least Common Multiple (LCM), seperti yang dibahas berikut ini.

    Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

            Suatu bilangan bulat k dikatakan kelipatan persekutuan dari dua bilangan bulat atau lebih apabila k merupakan kelipatan dari dua atau lebih  bilangan bulat yang diberikan.  

    Definisi KPK.

    Jika a, b bilangan bulat tak nol, maka bilangan bulat positif terkecil yang

    merupakan kelipatan a dan b disebut kelipatan persekutuan terkecil dari a

    dan b, ditulis KPK(a , b) atau [ a , b]

    Materi lengkap mengenai KPK dapat dibaca pada handbook halaman 34 - 39.

          Lebih lanjut lagi, sehubungan dengan faktor dari suatu bilangan, faktor dari bilangan yang erat kaitannya dengan perhitungan FPB  adalah faktor yang berupa bilangan prima, seperti dibahas berikut ini.

    Bilangan Prima

          Bilangan prima adalah bilangan yang hanya mempunyai tepat 2 faktor positif, yaitu satu dan dirinya sendiri.  Sebagai contoh, bilangan yang merupakan bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7,11, ...dan seterusnya.a handbook di halaman   Materi mengenai bilangan prima bisa dibaca pada handbook halaman 39 - 41.

            Sehubungan dengan bilangan prima, setiap bilangan bulat positif selain 1 dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima, yang dijamin kebenarannya oleh Teorema Fundamental Aritmatika, seperti dibahas di bawah ini.

    Teorema Fundamental Aritmatika

            Diperhatikan bahwa setiap bilangan bulat positif selain 1 dapat dinyatakan dalam hasil kali bilangan-bilanga prima, sebagai contoh 12 = 2. 2. 3, 75= 3. 5. 5.  Keberadaain mengenai hal ini dijamin oleh suatu teorema , yang secara lengkap dapat dibaca pada handbook halaman 41-47.  Selain itu juga dapat dipelajari dengan mencermati power point berikut.  Sedangkan penerapan teorema ini dapat ditonton pada video di bawah ini.

             Untuk mengetahui telah sejauh mana saudara menguasai materi ini, kerjakan kuis yang diberikan.  Sementara itu, untuk lebih memantapkan pemahaman saudara mengenai materi ini, kerjakan Tugas Mandiri 6,  dan Tugas Kelompok 6.

  • UJIAN TENGAH SEMESTER

  • PERSAMAAN DIOPHANTIN LINEAR

          Saudara-suadara pasti sudah familiar dengan istilah persamaan linear.  Persamaan linear yang selama ini saudara kenal mempunyai bentuk umum ax + by = c, dengan a, b elemen-elemen bilangan real dan soluai (x, y) juga merupakan elemen-elemen bilangan real.  Lalu bagaimana dengan persamaan diopantin linear.  Inilah yang menjadi pokok bahasan kali ini, yang tebagi atas  4 sub pokok bahasan, yaitu Algoritma Euclid, Persamaan Diophantine Linear Dua Variabel dan Penyelesaiannya Menggunakan Algoritma Euclid, Kongruensi Linear dan Persamaan Diopantine Linear Dua Variabel atau Lebih dan Penyelesaiannya Menggunakan Konsep Modulo.

    Algoritma Euclid

          Tahukah saudara bahwa, selain menggunakan faktorisasi prima, FPB juga bisa dicari dengan menggunakan Algoritma Euclid. Pada dasarnya Algoritma Euclid merupakan Algoritma Pembagian yang diulang-ulang, sampai didapatkan nilai FPB-nya.  Secara lengkap materi Algoritma Euclid dapat dibaca pada handbook halaman 48 - 52. Untuk membantu pemahaman suadara mengenai Menentukan FPB dengan Algoritma Eulid, silahkan tonton vedio tutorial yang berjudul " The Euclidean Algorithm" di bawah ini.

          Sebelumnya telah dipelajari bahwa untuk setiap dua bilangan bulat a dan b selalu mempunyai FPB.  Ternyata selalu terdapat bilangan bulat x dan y, sehingga berlaku FPB(a,b) = ax + by, dengan nilai x dan y bisa dicari melalui algoritma euclid dengan langkah mundur.  Konsep inilah yang mendasari cara penyelesaian persamaan dipantin linear yang dibahas berikutt ini.

    Persamaan Diophantine Linear Dua Variabel

    Persamaan diophantine linear dua variabel mempunyai bentuk umum ax + by = c, dengan a, b semuanya merupakan elemen-elemen bilangan bulat dan solusinya, yaitu (x, y) merupakan pasangan bilangan bulat juga.  Persamaan ini bisa diselesaikan apabila FPB(a,b) |c

            Secara lengkap, materi persamaan diopantin linear dua variabel dapat sudara baca dalam handbook halaman 48 - 52.   Untuk memudahkan saudara memahami cara "menyatakan FPB sebagai kombinasi linear dua bilangan yang dicari FPBnya, saya sarankan suadara untuk menonton video tutorial yang berjudul "Using Euclidean Algorithm to writw GCD as linear combination".  Selain itu video tiutorial yang berjudul " Linear Diophantine Equation "  juga saya sarankan slaudara tonton untuk memudahkan dalam memahami cara menyelesaikan persamaan diophantine linear menggunakan algoritma euclid.

             Untuk memperdalam pemahaman suadara mengenai Algoritma Euclid dan Persamaan Diopantin Linear Dua atau Lebih Variabel selesaikan Tugas Mandiri 8 , 9 dan Tugas Kelompok 8, 9 yang terlampir di bawah ini.  Selanjutnya untuk mengetahui sejauh mana saudara paham materi ini, kerjakan Kuis 8, 9 di bawah ini.

            Lebih lanjut lagi, persamaan diopantin linear dua variabel juga dapat dinyatakan dalam bentuk kongruensi linear, seperti dibahas berikut ini.

    Kongruensi Linear

          Persamaan diopantin Linear ax + ny = b dapat dinyatakan dalam bentuk kongruensi linear ax kongruen b modulo n.  Tentunya kongruensi linear ini bisa diselesaikan apabila persamaan linear diopantinnya bisa diselesaikan, yaitu apabila FPB(a,n) | b.  Materi ini secara lengkap dapat saudara baca pada handbook halaman 51 - 52.  Agar saudara lebih mudah memahami cara menyelesaikan bentuk kongruensi linear, sebaiknya saudara tonton video tutorial yang berjudul " Solving Linear Congruence with common Factor" di bawah ini.

          

          Untuk memperdalam pemahaman saudara, coba kerjakan Tugas Mandiri 10 dan Tugas Kelompok 10 seperti terlampir di bawah ini. Sedangkan untuk mengetahui sejauh mana pemahaman saudara  mengenai materi ini, kerjakan Kuis 10.


            

          

  • PERSAMAAN DIOPANTIN NON LINEAR

            Sebelumnya telah dibahas persamaan diopantin linear.  Sekarang mari kita belajar mengenai persamaan diopantin non linear. Sesuai dengan namanya bentuk persamaan ini non linear.  Ada banyak jenis persamaan diopantin non linear dan banyak cara menyelesaiakn persamaan diopantin non linear.  Akan tetapi di sini hanya akan dibahas beberapa metode dasar dalam menyelesaikan persamaan diopantin non linear, yaitu:

    1.  Metode dekomposisi

    2. Menggunakan Ketaksamaan

    3.  Metode Parametrik

    4.  Metode Aritmatika Modular

    5. Metode Induksi Matematika

    6.  Fermat's Method of Infinite Descent 

    Materi dapat diakses melalui web https://diendantoanhoc.net/index.php?app=core&module=attach&section...  Untuk membantu pemahaman saudara, tonton video pembelajaran yang berjudul "Diophantine Equation trick of proving no solutions exist for an diophantine equation

            Untuk melatih ketrampilan saudara, kerjakan Tugas Mandiri 11.  Selain itu , untuk berekplorasi diskusikan bersama kelompok saudara masalah pada Tugas Kelompok 11.  

  • APLIKASI KEKONGRUENAN: TEOREMA SISA CINA, TEOREMA FERMAT, TEOREMA WILSON DAN TEOREMA EULER

          Konsep kekongruenan mempunyai banyak penerapan, antara lain pada Teorema Sisa Cina, Teorema Fermat,Teorema Wilson dan Teorema Euler. Materi ini dibahas dalam waktu dua minggu.  Materi Teorema Sisa Cina dan Teorema Fermat dibahas pada Minggu pertama (Minggu ke-XIII) , sedangkan materi Teorema Wilson dan Teorema Euler dibahas pada  minggu kedua (Minggu ke-XIV).

    1.  Teorema Sisa Cina


        Teorema Sisa Cina ditemukan oleh seorang matematikawan Cina yang bernama Sun-Tsu sekitar tahun 100 M .    Msalkan kita dihadapkan permasalahan menentukan bilangan bulat x yang bersisa 1 apabila dibagi 3, bersisa 2 apabila dibagi 5, dan bersisa 3 apabila dibagi 7. Masalah ini dapat ditulis dalam bentuk sistem kongruensi linear:

      x \equiv 1 (mod 3);   x \equiv  2 (mod 5);   x \equiv   3 (mod 7)

    Permasalahan ini dapat diselesaikan dengan mengubah persamaan kongruensi ke dalam persamaan linear, kemudian substitusi , seperti tyelah dibahas pada subbab kongruensi linear.  Selain itu, permasalahan ini juga dapat diselesaikan dengan menerapkan Teorema Sisa Cina. seperti yang akan dibahas di sini.  

            Materi Teorema Sisa Cina dapat dibaca pada handbook halaman 55-56.  Untuk memudahkan pemahaman, tonton juga video pembelajaran yang berjudul " The Chinesse Remainder Theorem-an Example " Sebagai latihan, silahkan saudara kerjakan Tugas Mandiri 12 di bawah ini.

    2.  Teorema Fermat

             Dalam menyelesaikan masalah kekongruenan, apabila langkah yang diambil kurang tepat akan menyebabkan proses penyelesaiannya cukup panjang.  Salah satu konsep yang dapat digunakan untuk mempersingkat proses penyelesaian masalah kekongruenan adalah Teorema Fermat.  Materi mengenai Teorema Fermat dapat dipelajari pada handbook halaman 78 - 80.  Untuk membantu pemahaman saudara mengenai materi ini, saya sarankan saudara menonton video pembelajaran yang berjudul "Fermat Little Theorem" dan  "Appliying Fermat Little Theorem" di bawah ini. 

            Selanjutnya , untuk meningkatkan  pengetahuan saudara, silahkan  kerjakan Tugas 13.  Lebih lanjut lagi, untuk mengetahui sejauh mana pemahaman saudara, kerjakan Quiz 13.  

    3.  Teorema Wilson

            Berikut ini dibahas suatu teorema yang juga dapat membantu dalam penyelesaian masalah matematika yang menyangkutkonsep  kekongruenan, yaitu Teorema Wilson.  Teorema Wilson dapat membantu penyelesaian masalah kekongruenan yang berkaitan dengan konsep faktorial.  Materi mengenai Teorema Wilson bisa dipelajari pada handbook halaman 80 - 81.  Selain itu disarankan untuk menonton video pembelajaran yang berjudul "Wilson Theorem fo finding out remainder" dan "Wilson Theorem Solved Example".

    4.  Teorema  Euler

             Satu teorema lagi yang juga sangat membantu dalam menyelesaikan masalah kekongruenan adalah Teorema Euler.  Materi Teorema Euler dapat dibaca pada handbook halaman 81-83.  Selain itu, video pembelajaran yang berjudul " Euler’s Theorem made easy" akan sangat membantu saudara dalam meningkatkan pemahaman saudara mengenai materi ini.

            Untuk melatih ketrampilan saudara, kerjakanlah Tugas 14 di bawah ini.  Selanjutnya untuk mengetahui sejauh mana saudara paham mengenai materi ini, kerjakan Kuis 14
    • Tugas 13 Assignment

      Tugas 13 ini berisi masalah-masalah matematika yang berkaitan dengan penerapan Teorema Sisa Cina dan Teorema Fermat. 

    • Quiz 13
      Quiz 13 ini berisi masalah-masalah matematika yang berkaitan dengan penerapan Teorema Sisa Cina dan teorema Fermat.
    • Tugas 14 Assignment

      Tugas 14 ini berisi masalah-masalah matematika yang berkaitan dengan penerapan Teorema Wilson dan Euler.

  • FUNGSI TANGGA

             Fungsi tangga adalah fungsi yang grafiknya menyerupai tangga.  Terdapat 3 jenis fungsi tangga, yaitu Fluor function, Ceilling Function dan Integer Function,  Materi mengenai hal ini bisa dibaca pada handbook halaman 57 - 62.  Selain itu juga dapat dibaca pada file word berikut.  Akan lebih baik lagi apabila saudara juga menonton video pembelajaran di bawah ini yang berjudul "Graphing the Floor Function":

    , "Floor Function- An Example"unction- An Example" :
     dan "    Ceiling Function"  :

             Untuk lebih meningkatkan pemahaman saudara , kerjakan Tugas 15 berikut ini.  Sekanjutnya mengetahui sejauh mana saudara memahami materi ini , kerjakan Quiz 15 di bawah ini.

    • Tugas 15 Assignment

      Tugas 15 ini berisi masalah matematika yang berkaitan dengan Fungsi Tangga.

    • Quiz 15

      Quiz 15 ini berisi-masalah-masalah yang berkaitan dengan penerapan fungsi tangga.

  • UJIAN AKHIR SEMESTER

    • Ujian Akhir Semester Assignment

      Berikut adalah soal ujian akhir semester yang dikerjakan saat tatap muka

    • Terakhir, untuk tujuan perbaikan mutu pembelajaran, mohon supaya para pengguna mengisi angket monev pembeljaran online yang dapat diakses melalui  https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfvpQWD3G2jb2-oz0C-ZIO0g0t6DDOZ7efcFlaqldXm4WPMug/viewform?usp=pp_url